Гармонические
колебания и Волновые процессы
Цель:
Ознакомиться с гармоническими колебаниями, их характеристиками. Изучить гармонический
осциллятор, пружинный, физический и математический маятники. Продольные и поперечные волны. Уравнение бегущей
волны. Фазовая скорость, длина волны, волновое число.
План:
1. Гармонические
колебания и их характеристики
2. Гармонический осциллятор. Пружинный,
физический и математический маятники
3. Сложение гармонических колебаний
4. Волновые процессы. Продольные и
поперечные волны
5. Уравнение
бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение. Принцип суперпозиции
1. Гармонические колебания и их характеристики
Колебаниями называются движения или процессы, которые
характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы
широко распространены в природе и технике, например качание маятника часов,
переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника
изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются
напряжение и ток в цепи.
Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому
различают колебания механические, электромагнитные и др. Однако различные колебательные
процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями.
Колебания называются свободными (или собственными),
если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при
последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему,
совершающую колебания).
Простейшим типом колебаний являются гармонические
колебания — колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со
временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний
важно по двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто
близки к гармоническим; 2) различные периодические процессы (процессы,
повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение
гармонических колебаний. Гармонические колебания величины s описываются уравнением типа
(1)
где А — максимальное значение колеблющейся величины,
называемое амплитудой колебания; ω0 — круговая (циклическая) частота.
Периодически изменяющийся аргумент косинуса (ωоt + φ) называется фазой колебания. Она
определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный
момент времени t. Величина φ
в уравнении гармонических колебаний называется начальной фазой. Она
определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в начальный
момент времени (t = 0).
Определенные состояния системы, совершающей гармонические
колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом
колебания, за который фаза колебания получает приращение 2π, т.е.
откуда
(2)
Величина, обратная периоду колебаний,
(3)
т.е. число
полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний.
Сравнивая (2) и (3), получим
Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц — частота
периодического процесса, при которой за 1 с совершается один цикл процесса.
Запишем первую и вторую производные по времени от
гармонически колеблющейся величины s:
(4)
(5)
т.е. имеем гармонические колебания с той же циклической
частотой. Амплитуды величин (4) – скорости и (5) - ускорения соответственно
равны Аω0 и Аω20.
Из выражения (5) следует дифференциальное уравнение
гармонических колебаний
(6)
Решением этого уравнения является выражение (1).
Гармонические колебания изображаются графически методом
вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм.
2. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический
маятники
Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания,
описываемые уравнением вида (6):
(7)
1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный
на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под
действием упругой силы F = — кх, где к — жесткость пружины.
Уравнение движения маятника в отсутствие сил трения
или
Из выражений (7) и (1) следует, что пружинный маятник
совершает гармонические колебания по закону 
с циклической частотой
(8)
и периодом 
(9)
Формула (9) справедлива для упругих колебаний в пределах, в
которых выполняется закон Гука, т. е. когда масса пружины мала по сравнению с
массой тела.
Потенциальная энергия пружинного маятника, согласно (8),
2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под
действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси,
проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис.).
Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый
угол α, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения
твердого тела в отсутствие сил трения вращающий момент М можно записать
в виде
(10)
где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку
подвеса О; l — расстояние
между ней и центром масс маятника.
При малых колебаниях физический маятник совершает
гармонические колебания с циклической частотой ω0
и периодом
(11)
где 
-
приведенная длина физического маятника.
3. Математический маятник — это идеализированная система,
состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой
нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести.
Хорошим приближением математического маятника является
небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.
Момент инерции математического маятника
(12)
где I — длина маятника.
Выражение для периода малых колебаний математического
маятника
(13)
3. Сложение гармонических колебаний
Колеблющееся тело может участвовать в нескольких
колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными
словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного
направления и одинаковой частоты:
воспользовавшись
методом вращающегося вектора амплитуды (см. п.1). Построим векторные диаграммы
этих колебаний (рис.).
Так как
векторы 
и 
вращаются с
одинаковой угловой скоростью ω0, то разность фаз (φ2
— φ1) между ними остается постоянной. Очевидно, что уравнение
результирующего колебания будет
(1)
Амплитуда А и начальная фаза φ соответственно
задаются соотношениями
(2)
Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие
при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.
Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а
частоты равны ω и ω + Δω, причем Δω << ω. Начало отсчета выберем
так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:
Результирующее колебание можно
рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда Аб которого
изменяется по следующему периодическому закону:
(3)
Частота биений равна разности частот складываемых
колебаний:
Период биений
Характер зависимости показан на рис., где сплошные линии
дают график результирующего колебания, а огибающие их штриховые — график медленно
меняющейся по уравнению (3) амплитуды.
Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний
одинаковой частоты ω, происходящих во взаимно перпендикулярных
направлениях вдоль осей х и у.
Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза
первого колебания была равна нулю, и запишем
(4)
где α — разность фаз обоих
колебаний; А и В — амплитуды складываемых колебаний.
Уравнение траектории результирующего
колебания находится исключением из выражений (4) параметра t.
Записывая складываемые колебания в виде
и заменяя
во втором уравнении cosωt на х/А
и sinωt на
получим
после несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого
ориентированы относительно координатных осей произвольно:
(5)
Так как траектория результирующего колебания имеет форму
эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.
Замкнутые траектории, прочерчиваемые
точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания,
называются фигурами Лиссажу. Вид этих
кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых
колебаний.
По виду фигур можно определить неизвестную частоту по
известной или определить отношение частот складываемых колебаний.
В реальных колебательных системах энергия может необратимо
переходить в другие формы, в результате чего энергия связанная собственно с колебаниями,
монотонно уменьшается. На практике используется следующее определение: затухающие
колебания – квазигармонические колебания, для которых амплитуда
монотонно уменьшается с течением времени.
Характерный
график смещения для затухающих колебаний представлен на рисунке.
Где А0
– начальное значение амплитуды, β – коэффициент затухания.
Вынужденные колебания – колебания, происходящие в результате внешнего периодического
воздействия (напр., качели).
Резонанс
– резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты
внешнего воздействия к резонансной частоте
4. Волновые процессы. Продольные и поперечные волны
Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой,
жидкой или газообразной), распространяются в ней с конечной скоростью,
зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой.
При изучении распространения колебаний не учитывается
дискретное (молекулярное) строение среды и среда рассматривается как сплошная,
т.е. непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими
свойствами.
Процесс распространения колебаний в сплошной среде
называется волновым процессом (или волной). При
распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются
около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды
передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным
свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии
без переноса вещества.
Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и
технике, выделяются следующие их типы: волны на поверхности жидкости,
упругие и электромагнитные волны. Упругими (или механическими) волнами
называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие
волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах частицы
среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных —
в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.
в жидкостях и газах возникают только
продольные волны, а в твердых телах — как продольные, так и поперечные.
Рис. 1 
Упругая волна называется гармонической, если
соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. На рис. 1
представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью v; вдоль оси х, т. е. приведена зависимость между смещением ξ,
частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием х этих
частиц (например, частицы В) от источника колебаний О для
какого-то фиксированного момента времени t.
Приведенный график функции ξ(x,t) напоминает
график гармонического колебания, однако они различны по существу. График
волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до
источника колебаний в данный момент времени, а график колебаний — зависимость
смещения данной частицы от времени.
Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в
одинаковой фазе, называется длиной волны λ (рис. 1). Длина волны равна тому расстоянию, на которое
распространяется определенная фаза колебания за период, т. е.
или,
учитывая, что 
, где ν — частота колебаний, 
Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к
моменту времени t, называется
волновым фронтом. Геометрическое место точек, колеблющихся в
одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых
поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый
момент времени — один.
Волны бывают плоскими или сферическими.
5. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость.
Волновое уравнение. Принцип суперпозиции
Бегущими волнами называются волны, которые переносят в
пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором
плотности потока энергии.
уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет
вид
(1)
откуда
следует, что ξ(x,t) является не только периодической функцией
времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (1) есть уравнение
бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном
направлении, то
В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся
вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию,
имеет вид
(2)
где А =
const — амплитуда
волны; ω — циклическая
частота; φ0 — начальная фаза волны; определяемая
в общем случае выбором начал отсчета х и t; 
—
фаза плоской волны.
Для характеристики волн используется волновое число
(3)
Учитывая (3), уравнению (2) можно придать вид
(4)
Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного
направления оси х, отличается от (4) только знаком кх.
Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. е.
. (5)
Продифференцировав выражение (5) и сократив на ω,
получим 
, откуда
(6)
Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (6) есть
не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой
скоростью.
Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать,
что уравнение сферической волны — волны, волновые
поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается как
(7)
где r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды.
Из выражения (3) вытекает, что фазовая скорость
(8)
Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты,
то это явление называют дисперсией волн, а среда, в которой
наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей
средой.
Если среда, в которой распространяется одновременно
несколько волн, линейна, т. е. ее свойства не изменяются под действием
возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения)
волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из
них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее
смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений,
которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.